[A] $2r$.
[B] $2r^{2}$.
[C] $4r$.
[D] $4r^{2}$.
Solução
A questão se refere a uma PA$(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots, a_{n-1},a_{n}, a_{n+1})$, como a razão pode ser obtida pela diferença de um termo pelo seu antecessor, temos que $a_{n+1}-a_{n}=r$. Já que $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$, pode-se aplicar no caso da questão: $$b_{n}=(a_{n+1})^{2}-(a_{n})^{2}$$ $$b_{n}=(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n})$$ Como $a_{n+1}-a_{n}=r$ e $a_{n+1}=a_{n}+r$, substitui-se na expressão anterior: $$b_{n}=(a_{n}+r+a_{n})r$$ $$b_{n}=(2a_{n}+r)r$$ $$b_{n}=2a_{n} \cdot r + r^{2}$$ Desta forma: $$b_{n+1}=2a_{n+1} \cdot r + r^{2}$$ Fazendo a diferença entre os termos: $$b_{n+1}-b_{n}=2a_{n+1} \cdot r + r^{2}-(2a_{n} \cdot r + r^{2})$$ $$b_{n+1}-b_{n}=2a_{n+1} \cdot r + r^{2}-2a_{n} \cdot r- r^{2}$$ $$b_{n+1}-b_{n}=2r(a_{n+1}-a_{n})$$ $$b_{n+1}-b_{n}=2r \cdot r=2r^{2}$$
Resposta: Item B