[A] $\dfrac{170}{3}$ graus.
[B] $\dfrac{140}{3}$ graus.
[C] $\dfrac{110}{3}$ graus.
[D] $\dfrac{100}{3}$ graus.
Solução
O triângulo $OYZ$ pode ser representado da seguinte forma:
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180^{\circ}$, e como há um ângulo reto no triângulo, conclui-se que $\hat{Z}+\hat{Y}=90^{\circ}$. Logo, $\hat{Z}=90^{\circ}-\hat{Y}$. Substituindo o valor do ângulo $\hat{Z}$ na igualdade dada no enunciado, temos: $$\hat{Y}-2\hat{Z}=10^{\circ}$$ $$\hat{Y}-2 \cdot (90^{\circ}-\hat{Y})=10^{\circ}$$ $$\hat{Y}-180^{\circ}+2\hat{Y}=10^{\circ}$$ $$3\hat{Y}=10^{\circ}+180^{\circ}$$ $$3\hat{Y}=190^{\circ}$$ $$\hat{Y}=\dfrac{190^{\circ}}{3}$$ Agora, para descobrir o valor de $\hat{Z}$ basta substituir o valor $\hat{Y}$ em qualquer uma das igualdades: $$\hat{Z}+\hat{Y}=90^{\circ}$$ $$\hat{Z}+\dfrac{190^{\circ}}{3}=90^{\circ}$$ $$\hat{Z}=90^{\circ}-\dfrac{190^{\circ}}{3}$$ $$\hat{Z}=\dfrac{270^{\circ}}{3}-\dfrac{190^{\circ}}{3}$$ $$\hat{Z}=\dfrac{80^{\circ}}{3}$$ Visto isso, é necessário lembrar que quando traça-se uma mediana em um triângulo retângulo, esta divide a hipotenusa em duas partes iguais de valor igual a mediana. Desta forma, $ZM=MY=OM$. Nota-se que o triângulo $OMZ$ é isósceles, logo o valor do ângulo $M\hat{O}Z$ é igual ao valor de $\hat{Z}$. Nota-se também que o triangulo $OYZ$ é semelhante ao triângulo $OYH$, já que eles tem dois ângulos em comum, o reto e o $\hat{Y}$. Logo, o valor do ângulo $H\hat{O}Y$ também será igual a $\hat{Z}$. Como $\hat{O}=Y\hat{O}H+H\hat{O}M+M\hat{O}Z$, basta substituir os valores encontrados: $$\hat{O}=Y\hat{O}H+H\hat{O}M+M\hat{O}Z$$ $$\hat{O}=\hat{Z}+H\hat{O}M+\hat{Z}$$ $$90^{\circ}=\dfrac{80^{\circ}}{3}+H\hat{O}M+\dfrac{80^{\circ}}{3}$$ $$90^{\circ}=\dfrac{160^{\circ}}{3}+H\hat{O}M$$ $$H\hat{O}M=90^{\circ}-\dfrac{160^{\circ}}{3}$$ $$H\hat{O}M=\dfrac{270^{\circ}}{3}-\dfrac{160^{\circ}}{3}$$ $$H\hat{O}M=\dfrac{110^{\circ}}{3}$$
Resposta: Item C