Definição: $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots \cdot (n-1) \cdot n$
[A] $20$.
[B] $15$.
[C] $30$.
[D] $25$.
Solução
Nota se que $10000=10^{4}=2^{4} \cdot 5^{4}$, logo, o número $n$ deve ser tal que $2^{4}$ e $5^{4}$ estão contidos na decomposição de $n!$ em primos. Para esclarecer, examinemos o produto $$20!=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20$$ Substituindo cada fator pela sua decomposição primária, temos
$20!=(2^{1}) \cdot (3^{1}) \cdot (2^{2}) \cdot (5^{1}) \cdot (2^{1} \cdot 3^{1}) \cdot (7^{1}) \cdot (2^{3}) \cdot (3^{2})\cdot (2^{1} \cdot 5^{1}) \cdot (11^{1}) \cdot (2^{2} \cdot 3^{1}) \cdot (13^{1}) \cdot (2^{1} \cdot 7^{1}) \cdot (3^{1} \cdot 5^{1}) \cdot (2^{4}) \cdot (17^{1}) \cdot (2^{1} \cdot 3^{2}) \cdot (19^{1}) \cdot (2^{2} \cdot 5^{1})$
Agrupando as potências de mesma base, resulta
$20!=(2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{1} \cdot 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{1} \cdot 2^{4} \cdot 2^{1} \cdot 2^{2})\cdot (3^{1} \cdot 3^{1} \cdot 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot 3^{1} \cdot 3^{2}) \cdot (5^{1} \cdot 5^{1} \cdot 5^{1} \cdot 5^{1}) \cdot (7^{1} \cdot 7^{1}) \cdot (11^{1}) \cdot (13^{1}) \cdot (17^{1}) \cdot (19^{1})$
De modo que $$20!=2^{18} \cdot 3^{8} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1} \cdot 17^{1} \cdot 19^{1}$$ Nota-se que $20!$ é divisível por $10000$, já que o expoente em $5$ em $20!$ é $4$ e o de $2$ é $18$, que pode ser decomposto em $2^{4} \cdot 2^{14}$, por exemplo. Para comprovar que $20!$ é o menor número divisível por $10000$, faz-se o mesmo processo para o único número entre as opções menor que ele, no caso o $15$. Logo $$15!=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15$$ Substituindo cada fator pela sua decomposição primária, temos
$15!=(2^{1}) \cdot (3^{1}) \cdot (2^{2}) \cdot (5^{1}) \cdot (2^{1} \cdot 3^{1}) \cdot (7^{1}) \cdot (2^{3}) \cdot (3^{2})\cdot (2^{1} \cdot 5^{1}) \cdot (11^{1}) \cdot (2^{2} \cdot 3^{1}) \cdot (13^{1}) \cdot (2^{1} \cdot 7^{1}) \cdot (3^{1} \cdot 5^{1})$
Agrupando as potências de mesma base, resulta
$15!=(2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{1} \cdot 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 2^{1})\cdot (3^{1} \cdot 3^{1} \cdot 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot 3^{1}) \cdot (5^{1} \cdot 5^{1} \cdot 5^{1}) \cdot (7^{1} \cdot 7^{1}) \cdot (11^{1}) \cdot (13^{1})$
De modo que: $$15!=2^{11} \cdot 3^{6} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11^{1} \cdot 13^{1} $$ Nota-se que $15!$ não é divisível por $10000$, pois o expoente em $5$ em $15!$ é $3$. Logo o menor número $n$, onde $n!$ é divisível por $10000$ é o $20$.
Resposta: Item A