UECE 2018.2 - Fase 2 - Questão 03

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função quadrática definida por $f(x)=ax^{2}+bx+c$ cujo gráfico passa pelo ponto $(1, 9)$ e cuja distância deste ponto ao eixo de simetria do gráfico $f$ é igual a $2$ u. Se $f$ assume o valor mínimo igual a um para um determinado valor negativo de $x$, então, o produto $a \cdot b \cdot c$ é igual a

[A] $32$.

[B] $16$.

[C] $8$.

[D] $24$.

Solução

Quando $x=1, \, y=9$: $$f(1)=a \cdot 1^{2}+b \cdot 1+c$$ $$9=a+b+c$$ Como a distância do ponto $(1, 9)$ ao eixo de simetria é $2u$, logo, o eixo de simetria corta o eixo das abcissas quando $x=-1$. Desta forma, o vértice da parábola terá coordenadas $(-1, 1)$. Há também o ponto simétrico a $(1, 9)$, que será o $(-3,9)$, conforme mostra o gráfico desta função:

Quando $x=-1, \, y=9$: $$f(-1)=a \cdot (-1)^{2}+ b \cdot (-1)+c$$ $$1=a-b+c$$ $$a=1+b-c$$ Substituindo o valor de $a$ na primeira igualdade: $$9=a+b+c$$ $$9=(1+b-c)+b+c$$ $$9=1+2b$$ $$2b=9-1$$ $$b=\dfrac{8}{2}=4$$ Para descobrir o valor de $a$, aplicamos a fórmula do $X_{v}$: $$X_{v}=\dfrac{-b}{2a}$$ $$-1=\dfrac{-4}{2a}$$ $$-2a=-4$$ $$a=\dfrac{-4}{-2}=2$$ Basta substituir os valores de $a$ e $b$ na primeira igualdade para descobrir o valor de $c$: $$9=a+b+c$$ $$9=2+4+c$$ $$9=6+c$$ $$c=3$$ Portanto, $a \cdot b \cdot c=2 \cdot 4 \cdot 3=24$.

Resposta: Item D

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