[A] $8(2+\sqrt{2})$.
[B] $2(2+\sqrt{2})$.
[C] $6(2+\sqrt{2})$.
[D] $4(2+\sqrt{2})$.
Solução
A progressão aritmética cujo primeiro termo é igual a $1$ e razão igual a $-\frac{1}{2}$ é:
P.A.: $(1, \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}, \cdots)$
Calculando $f(x_{1})$: $$f(x_1)=3 \cdot 2^{x_1}$$ $$f(1)=3 \cdot 2^{1}$$ $$f(1)=6$$ Calculando $f(x_{2})$: $$f\left(\frac{1}{2}\right)=3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$$ $$f\left(\frac{1}{2}\right)=3 \cdot \sqrt{2}$$ $$f\left(\frac{1}{2}\right)=3\sqrt{2}$$ Calculando $f(x_{3})$: $$f(0)=3 \cdot 2^{0}$$ $$f(1)=3 \cdot 1$$ $$f(1)=3$$ Calculando $f(x_{4})$: $$f\left(-\frac{1}{2}\right)=3 \cdot 2^{-\frac{1}{2}}=3 \cdot \dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}}=3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$$ Nota-se que os resultados formam uma progressão geométrica de razão $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Calculando a "soma infinita", onde $a_{1}$ corresponde ao primeiro termo da PG e $q$ à razão: $$S_{n}=\dfrac{a_{1}}{1-q}=\dfrac{6}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{6}{\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}}=6 \cdot \dfrac{2}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{12}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{12}{2-\sqrt{2}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{24+12\sqrt{2}}{4-2}=\dfrac{24+12\sqrt{2}}{2}=12+6\sqrt{2}=6(2+\sqrt{2})$$
Resposta: Item C