UECE 2018.2 - Fase 2 - Questão 12

Seja $M$ o conjunto dos números complexos da forma $z=a+bi$, com $a$ e $b$ números inteiros, $b \neq 0$ e $|z|=5$ (módulo de $z$ igual a cinco). O número de elementos de $M$ é igual a

[A] $6$.

[B] $12$.

[C] $10$.

[D] $8$.

Solução

$$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ $$|z|^{2}=a^{2}+b^{2}$$ $$5^{2}=a^{2}+b^{2}$$ Como este é um quadrado perfeito e $a$ e $b$ são inteiros, as únicas possibilidades são eles com valores iguias a $3$, $4$ e $5$:

$z=4+3i$
$z=3+4i$
$z=5i$
$z=-4-3i$
$z=-3-4i$
$z=-5i$
$z=4-3i$
$z=3-4i$
$z=-4+3i$
$z=-3+4i$

Desta forma, há $10$ elementos no conjunto de números complexos $M$.

Resposta: Item C

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