UECE 2018.2 - Fase 2 - Questão 19

Quando a expressão algébrica $E=(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+(1+x)^{4}+ \cdots +(1+x)^{18}$ é apresentada de na forma $E=a_{0}x^{18}+a_{1}x^{17}+a_{2}x^{16}+ \cdots + a_{17}x+a_{18}$, o valor do coeficiente do termo do primeiro grau, isto é, $a_{17}$ é igual a

[A] $170$.

[B] $172$.

[C] $171$.

[D] $169$.

Solução

Desenvolvendo os quatro primeiros termos da expressão algébrica, temos: $$(1+x)=1+x$$ $$(1+x)^{2}=1^{2}+2x+x^{2}=x^{2}+2x+1$$ $$(1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}$$ $$(1+x)^4=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}$$ Nota-se que em cada termo, o coeficiente do termo do primeiro grau corresponde ao grau do polinômio, logo há uma progressão aritmética: $$a_{17}x=x+2x+3x+4x+\cdots+17x+18x$$ Para calcular a soma, basta aplicar na fórmula da soma de elementos de uma P.A.: $$S_{n}=\dfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2} \Rightarrow S_{n}=\dfrac{18(x+18x)}{2} \Rightarrow S_{n}=\dfrac{16\cdot 19x}{2} \Rightarrow S_{n}=\dfrac{342x}{2} \Rightarrow S_{n}=171x$$ Desta forma, $a_{17}=171$.

Resposta: Item C

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