UECE 2019.1 - Fase 1 - Questão 03

Quantos são os valores inteiros que o número real $k$ pode assumir, de modo que as raízes da equação $x^{2}-3x+k=0$ sejam reais não nulas e de sinais contrários, e que a equação $x^{2}+kx+1=0$ não tenha raízes reais?

[A] $3$.

[B] $1$.

[C] $0$.

[D] $2$.

Solução

Para satisfazer a primeira condição (raízes não nulas), $\Delta>0$, como $a=1, b=-3$ e $c=k$: $$\Delta>0$$ $$b^{2}-4ac>0$$ $$(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot k>0$$ $$9-4k>0$$ $$4k<9$$ $$k<\dfrac{9}{4}$$ $$k<2,25$$ Para satisfazer a segunda condição (raízes de sinais contrários), o produto das raízes tem que ser menor que 0, $P<0$. $$P<0$$ $$\dfrac{c}{a}<0$$ $$\dfrac{k}{1}<0$$ $$k<0$$ Para satisfazer a terceira condição (segunda equação não tenha raízes reais), $\Delta<0$, com $a=1, b=k$ e $c=1$: $$\Delta<0$$ $$b^{2}-4ac<0$$ $$k^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1<0$$ $$k^{2}<4$$ $$-\sqrt{4} < k < \sqrt{4}$$ $$-2 < k < 2$$ Aplicando as três condições na reta numérica:

Assim, $-2 < k < 0$, logo há $1$ valor.

Resposta: Item B

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