[A] $[0, 4]-\{1\}$.
[B] $[0, 2]-\{1\}$.
[C] $[-2, 2]-\{1\}$.
[D] $[-2, 4]-\{1\}$.
Solução
Sabe-se que $\textrm{sec}x=\dfrac{1}{\textrm{cos}x}$. Substituindo essa igualdade na função $f(x)$: $$f(x)=\left(\textrm{cos}x + \dfrac{1}{\textrm{cos} x} + 2\right) \cdot \textrm{cos}x$$ $$f(x)=\left(\dfrac{\textrm{cos}^2x + 1+2\textrm{cos}x}{\textrm{cos} x}\right) \cdot \textrm{cos}x$$ $$f(x)=\textrm{cos}^2x + 1+2\textrm{cos}x$$ $$f(x)=(\textrm{cos} x + 1)^{2}$$ A função $\textrm{cos}x$ varia entre os valores $-1$ e $+1$. Sendo assim: $$-1 \leq \textrm{cos}x \leq +1$$ Somando $1$ a cada membro: $$+1-1 \leq \textrm{cos}x + 1 \leq +1+1$$ $$0 \leq \textrm{cos}x + 1 \leq 2$$ Elevando ao quadrado todos os membros: $$0^{2} \leq (\textrm{cos}x + 1)^{2} \leq 2^{2}$$ $$0 \leq f(x) \leq 4$$ Como $\textrm{cos}x \neq 0$, retira-se o valor resultante quando $\textrm{cos}x=0$: $$f(x) \neq (0+1)^{2}$$ $$f(x) \neq 1$$ Portanto, a imagem de $f$ é igual a $[0,4]-\{1\}$.
Resposta: Item A