[A] $16$.
[B] $6$.
[C] $10$.
[D] $4$.
Solução
Como $f(x)=x-1$ é fator comum dos três polinômios, o valor de $x$ será uma raiz comum: $$f(x)=x-1$$ $$0=x-1$$ $$x=1$$ Já $m(x)$ é um polinômio do $2^{\circ}$ grau, suas raízes podem ser descobertas através do método da soma e produto das raízes: $$0=x^{2}-Sx+P$$ $$m(x)=x^{2}-3x+2$$ Comparando as equações, nota-se que a soma é igual a $3$ e o produto, $2$. Assim, os dois valores das raízes são $1$ e $2$. Escrevendo $m(x)$ em sua forma fatorada: $$m(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})$$ $$m(x)=(x-1)(x-2)$$ O polinômio $n(x)$ também é do $2^{\circ}$ grau, fazendo o método da soma e produto: $$0=x^{2}-Sx+P$$ $$n(x)=x^{2}-4x+3$$ Comparando as equações, nota-se que a soma é igual a $4$ e o produto, $3$. Assim, os dois valores das raízes são $1$ e $3$. Escrevendo $n(x)$ em sua forma fatorada: $$n(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})$$ $$n(x)=(x-1)(x-3)$$ Sabe-se até então que $f(x)=x-1$, $m(x)=(x-1)(x-2)$ e $n(x)=(x-1)(x-3)$. Para descobrir as raízes de $q(x)$, fatora-se o polinômio: $$q(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4$$ $$0=x^{2}(x-1)-4(x-1)$$ $$(x-1)(x^{2}-4)=0$$ $$(x-1)(x+2)(x-2)=0$$ Assim as raízes de $q(x)$ são $1$, $-2$ e $2$. Portanto, $f(x)=x-1$, $m(x)=(x-1)(x-2)$, $n(x)=(x-1)(x-3)$ e $q(x)=(x-1)(x+2)(x-2)$. Montando o polinômio $P(x)$: $$P(x)=m(x) \cdot n(x) \cdot q(x)$$ $$P(x)= (x-1)(x-2)(x-1)(x-3)(x-1)(x+2)(x-2)$$ Observa-se que o polinômio tem $7$ raízes ($1$, $2$, $1$, $3$, $1$, $-2$, $2$), contudo, nem todas são distintas. As distintas são $1$, $2$, $3$ e $-2$. A soma $1+2+3-2=4$.
Resposta: Item D