$X_{2}=\{n \in U$ tal que $n$ é múltiplo de $2\}$,
$X_{3}=\{n \in U$ tal que $n$ é múltiplo de $3\}$ e
$X_{5}=\{n \in U$ tal que $n$ é múltiplo de $5\}$, então, o número de elementos de $X_{2} \cup X_{3} \cup X_{5}$ é
[A] $140$.
[B] $135$.
[C] $150$.
[D] $145$.
Solução
Temos que: $$X_{2} \cup X_{3} \cup X_{5}=X_{2}+X_{3}+X_{5}-X_{2} \cap X_{3}-X_{2} \cap X_{5}-X_{3} \cap X_{5}+X_{2} \cap X_{3} \cap X_{5}$$ Para descobrir o número de elementos dos conjunto, aplica-se a expressão de uma progressão aritmética, $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$, onde $a_{1}$ é o primeiro termo, $a_{n}$ o último termo, $n$ o número de elementos e $r$, a razão. No caso do conjunto $X_{2}$, $r=2$, já que os elementos são todos múltiplos de $2$. Já em $X_{3}$, $r=3$ e $X_{5}$, $r=5$.
$X_{2}:$
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$ $$198=2+(n-1)\cdot 2$$ $$198=2+2n-2$$ $$2n=198$$ $$n=\dfrac{198}{2}=99$$ $X_{3}:$ $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$ $$198=3+(n-1)\cdot 3$$ $$198=3+3n-3$$ $$3n=198$$ $$n=\dfrac{198}{3}=66$$ $X_{5}:$ $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$ $$195=5+(n-1)\cdot 5$$ $$195=5+5n-5$$ $$5n=195$$ $$n=\dfrac{195}{5}=39$$ $X_{2} \cap X_{3}:$ $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$ $$198=6+(n-1)\cdot 6$$ $$198=6+6n-6$$ $$6n=198$$ $$n=\dfrac{198}{6}=33$$ $X_{2} \cap X_{5}:$ $$a_{n}=a_1+(n-1)\cdot r$$ $$190=10+(n-1)\cdot 10$$ $$190=10+10n-10$$ $$10n=190$$ $$n=\dfrac{190}{10}=19$$ $X_{3} \cap X_{5}:$ $$a_{n}=a_1+(n-1)\cdot r$$ $$195=15+(n-1)\cdot 15$$ $$195=15+15n-15$$ $$15n=195$$ $$n=\dfrac{195}{15}=13$$ $X_{2} \cap X_{3} \cap X_{5}:$ $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$ $$180=30+(n-1)\cdot 30$$ $$180=30+30n-30$$ $$30n=180$$ $$n=\dfrac{180}{30}=6$$ Portanto: $$X_{2} \cup X_{3} \cup X_{5}=X_{2}+X_{3}+X_{5}-X_{2} \cap X_{3}-X_{2} \cap X_{5}-X_{3} \cap X_{5}+X_{2} \cap X_{3} \cap X_{5}$$ $$X_{2} \cup X_{3} \cup X_{5}=99+66+39-33-19-13+6=145$$ Resposta: Item D