$M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ e $N=\begin{bmatrix} p & q \\ u & v \end{bmatrix}$. Se $M \cdot N=N \cdot M$, é correto afirmar que o determinante da matriz $N$ é igual a
[A] $\dfrac{2p^{2}-3q^{2}}{3}$.
[B] $\dfrac{3p^{2}-2q^{2}}{3}$.
[C] $\dfrac{3p^{2}-2q^{2}}{2}$.
[D] $\dfrac{2p^{2}-3q^{2}}{2}$.
Solução
Como $M \cdot N=N \cdot M$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\begin{bmatrix} p & q \\ u & v \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} p & q \\ u & v \end{bmatrix}$ $\cdot$ $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} p+2u & q+2v \\ 3p+u & 3q+v \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} p+3q & 2p+q \\ u+3v & 2u+v \end{bmatrix}$
Comparando a igualdade: $$p+2u=p+3q$$ $$2u=3q$$ $$u=\dfrac{3q}{2}$$ $$q+2v=2p+q$$ $$2v=2p$$ $$v=p$$ Calculando $\det N$: $$\det N=p \cdot v - u \cdot q$$ $$\det N=p \cdot p - \dfrac{3q}{2} \cdot q$$ $$\det N=p^{2} - \dfrac{3q^{2}}{2}$$ $$\det N=\dfrac{2p^{2}-3q^{2}}{2}$$
Resposta: Item D