[A] $236$.
[B] $206$.
[C] $226$.
[D] $216$.
Solução
Se as raízes do polinômio $P(x)=x^{3}-12x^{2}+47x-60$ formam uma P.A., então podem ser escritas como $x-r$, $x$ e $x+r$, sendo $r$ a razão da P.A.. Sendo $a=1, b=-12, c=47$ e $d=-60$, segundo as relações de Girard; $$(x-r)+x+(x+r)=\dfrac{-b}{a}$$ $$3x=\dfrac{12}{1}$$ $$x=\dfrac{12}{3}=4$$
$$(x-r) \cdot x \cdot (x+r)=\dfrac{-d}{a}$$ $$(16-r^{2}) \cdot 4=\dfrac{60}{1}$$ $$(16-r^{2})=\dfrac{60}{4}$$ $$(16-r^{2})=15$$ $$r^{2}=1$$ $$r=\pm 1$$ Assim, as raízes do polinômio são iguais a $3$, $4$ e $5$. O fato de $r$ ser $1$ ou $-1$, não muda os valores das raízes, apenas se a P.A. é crescente ou decrescente. Portanto, a soma dos cubos dessas raízes é $3^{3}+4^{3}+5^{3}=27+64+125=216$
Resposta: Item D