[A] $\{1, 2, -\frac{1}{2}\}$.
[B] $\{-1, -2, -\frac{1}{6}\}$.
[C] $\{-1, 3, -\frac{1}{5}\}$.
[D] $\{-1, -2, -\frac{1}{4}\}$.
Solução
Como $k$ tem que ser a única solução do sistema, têm um caso SPD (solução possivel e determinada), logo, de acordo com a regra de Cramer, o determinante da matriz incompleta do sistema tem que ser diferente de $0$. Logo: $$D=\begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{vmatrix}$$
Sarrus
$$D=\begin{array}{|ccc|cc} k & 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 2 & k & 1 & 2\\ 1 & 4 & k^2 & 1 & 4 \end{array}$$
$$D=(5k^{2}+2)-(2k^{3}+k+4)$$ $$D=5k^{2}+2-2k^{3}-k-4)$$ $$D=-2k^{3}+5k^{2}-k-2$$ Como $D \neq 0$: $$-2k^{3}+5k^{2}-k-2 \neq 0$$ Portanto a soma das raízes $\left(\dfrac{-b}{a}\right)$ tem que ser diferente de $0$: $$\dfrac{-b}{a} \neq 0$$ $$\dfrac{-5}{2} \neq 0$$ O único item em que a soma de seus elemento é igual a $\dfrac{-5}{2}$, é o item a.
Resposta: Item A