$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ Observação: $\textrm{tg}30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
[A] $\dfrac{4\pi}{3}$.
[B] $\dfrac{5\pi}{3}$.
[C] $\dfrac{5\pi}{4}$.
[D] $\dfrac{6\pi}{5}$.
Solução
Analisando uma reta $r$, paralela a reta $t$, temos que: $$x=\sqrt{3}y$$ $$y=\frac{x}{\sqrt{3}}$$ $$y=\frac{\sqrt{3}x}{3}$$ Como a equação da reta é $y=mx+n$, então $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $n=0$, onde $m$ é o coeficiente angular e $n$ o coeficiente linear. Logo, a reta irá cortar o eixo cartesiano na origem. Para calcular a declividade da reta, usa-se o $m$. Sabemos que $m=\textrm{tg } \alpha$, o ângulo em que a tangente é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ é $30^{\circ}$. Portanto, temos a seguinte reta:
Analisando a equação da circunferência, pode-se descobrir o seu centro e raio: $$x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0$$ $$(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4$$ Como a equação reduzida da circuferência é $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, onde $(a,b)$ é a coordenada do centro da circunferência, e $r$ é o raio da mesma. Logo, o centro da circunferência $(O)$ analisada é $(2,2)$, e seu raio é $2$. Portanto, a circunferência pode ser representada desta maneira:
Como a reta $t$ é paralela a reta $r$, elas tem o mesmo coeficiente angular. Adicionando os pontos $X$, $Y$ e $Z$, representamos desta maneira:
Assim, forma-se o quadrilátero $WXOZ$. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é $360^{\circ}$, $Z\hat{O}X$ tem valor igual a $150^{\circ}$ ou $\frac{5\pi}{6} $. Logo, para descobrir o valor do arco $XYZ$, faz-se uma regra de três: $$\begin{array}{cc} 2\pi \,rad & 2\pi r \\ \frac{5\pi}{6} \,rad & x \end{array}$$ $$x=\frac{4\pi \cdot \frac{5\pi}{6} }{2\pi}$$ $$x=\frac{\frac{20\pi^{2}}{6}}{2\pi}$$ $$x=\frac{20\pi^{2}}{6} \cdot \frac{1}{2\pi}$$ $$x=\frac{20\pi^{2}}{12\pi}$$ $$x=\frac{5\pi}{4}$$ Resposta: Item C