$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ Observação: $\dbinom {n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$
[A] $n = 6$.
[B] $n = 8$.
[C] $n = 5$.
[D] $n = 7$.
Solução
Desenvolvendo os binomiais, temos: $$\dbinom {n}{1}=\dfrac{n!}{1!(n-1)!}=\dfrac{n(n-1)!}{1(n-1)!}=n$$ $$\dbinom {n}{2}=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}$$ $$\dbinom {n}{3}=\dfrac{n!}{3!(n-3)!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ Considerando uma progressão aritmética de três elementos onde $x$ é o primeiro elemento e $r$ é a razão, podemos representar a sequência deste modo: $$x, (x+r), (x+2r)$$ No caso da questão, temos: $$n,(n+r), (n+2r)$$ Substituindo os termos: $$n,\dfrac{n(n-1)}{2},\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ Igualando o segundo termo: \begin{eqnarray*} n+r&=&\dfrac{n(n-1)}{2}\\ r&=&\dfrac{n(n-1)}{2}-n \\ r&=&\dfrac{n(n-1)}{2}-\dfrac{2n}{2}\\ r&=&\dfrac{n^{2}-n-2n}{2}\\ r&=&\dfrac{n^{2}-3n}{2}\\ 2r&=&n^{2}-3n \end{eqnarray*} Igualando o terceiro termo: \begin{eqnarray*} \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}&=&n+2r \\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}&=&n+n^{2}-3n\\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}&=&n^{2}-2n\\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}&=&n(n-2)\\ n(n-1)(n-2)&=&6[n(n-2)]\\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{n(n-2)}&=&6\\ n-1&=&6\\ n&=&7 \end{eqnarray*} Resposta: Item D