UECE 2019.2 - Fase 2 - Questão 06

A base de um prisma é uma das faces de um cubo, e seu vértice é o centro do mesmo cubo. Se a medida da superfície total do cubo é $864$ m$^2$, então, a razão entre as medidas (em metros quadrados) da área lateral da pirâmide e de área de sua base é

[A] $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

[B] $\sqrt{2}$.

[C] $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.

[D] $2 \sqrt{2}$.

Solução


A figura descrita é a seguinte:

Calculando a área de cada face do cubo $(A_{f})$: $$A_{f}=\dfrac{\textrm{Área total}}{\textrm{Número de lados}}$$ $$A_{f}=\dfrac{864}{6}$$ $$A_{f}=144 \, \textrm{m}^{2}$$ Como a área de um quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado, a aresta do quadrado é igual a $12 \, m$. O segmento $\overline{DM}$ corresponde à metade da medida da diagonal, portanto $6\sqrt{2}\,m$. O segmento $\overline{IM}$ corresponde à metade da altura do cubo, portanto $6\,m$. Pelo Teorema de Pitágoras temos que: $$(\overline{ID})^{2}=(\overline{IM})^{2}+(\overline{DM})^{2}$$ $$(\overline{ID})^{2}=6^{2}+(6\sqrt{2})^{2}$$ $$(\overline{ID})^{2}=36+72$$ $$(\overline{ID})^{2}=108 \,\textrm{m}^{2}$$ Para descobrir a medida do segmento $\overline{IK}$ aplicamos pitágoras novamente: $$(\overline{ID})^{2}=(\overline{IK})^{2}+(\overline{DK})^{2}$$ $$108=(\overline{IK})^{2}+6^{2}$$ $$(\overline{IK})^{2}=108-36$$ $$(\overline{IK})^{2}=72$$ $$(\overline{IK})=\sqrt{72}$$ $$(\overline{IK})=6\sqrt{2}\, \textrm{m}$$ Para descobrir o valor da área de cada fase lateral, calculamos a área do triângulo $AID$ $(A_{t})$: $$A_{t}=\dfrac{b \cdot h}{2}$$ $$A_{t}=\dfrac{(\overline{AD}) \cdot (\overline{IK})}{2}$$ $$A_{t}=\dfrac{12 \cdot 6\sqrt{2}}{2}$$ $$A_{t}=36\sqrt{2}\, \textrm{m}^{2}$$ Como a superfície lateral da pirâmide é composta por $4$ faces, então a a superfície lateral $(S_{l})$ é igual a: $$S_{l}=A_{t} \cdot 4=36\sqrt{2}\cdot4=144\sqrt{2}\, \textrm{m}^{2}$$ Como a área da base $(A_{b})$ é igual a área da fase $(A_{f})$, a razão será: $$R=\dfrac{S_{l}}{A_{f}}$$ $$R=\dfrac{144\sqrt{2}}{144}$$ $$R=\sqrt{2}\, \textrm{m}^{2}$$ Resposta: Item B

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