[A] $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
[B] $\sqrt{2}$.
[C] $0$.
[D] $\dfrac{3}{2} \sqrt{2}$.
Solução
No círculo trigonométrico, quando se trata do seno, os primeiro e segundo quadrantes tem sinal positivo, já os terceiro e quarto tem sinal negativo, pois o eixo vertical se refere ao seno. O primeiro termo da progressão aritmética, $\dfrac{\pi}{4}$, corresponde ao ângulo de $45^{\circ}$, pertecente ao primeiro quadrante, logo seu seno equivale a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, somada uma razão, $\dfrac{\pi}{2}$ ou $90^{\circ}$, o ângulo será $\dfrac{3\pi}{4}$ ou $135^{\circ}$, pertencente ao segundo quadrante, com seno equivelente a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Somada mais uma razão o ângulo será $225^{\circ}$, como está no terceiro quadrante, seu seno será negativo $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, o mesmo ocorrerá com o seno do próximo ângulo, $315^{\circ}$, portanto, o seno será $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Se forem somados os quatro senos obtidos, o resultado será $0$. Logo, a cada $4$ ângulos, o resultado da soma de seus senos será $0$. Em $S_{2019}$, há $54$ grupos de $4$ ângulos cuja soma dos senos resulta $0$. Restanto $3$ ângulos. Então: $$S_{2019}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Resposta: Item A