[A] $x^{2} + y^{2} + x + 2y -10 = 0$.
[B] $x^{2} + y^{2} -2x -4y -4 = 0$.
[C] $x^{2} + y^{2} +x +y -10 = 0$.
[D] $x^{2} + y^{2} -4x -2y +4 = 0$.
Solução
Analisando a reta $r$: $$4x-3y+2=0$$ $$3y=4x+2$$ $$y=\dfrac{4x+2}{3}$$ Analisando a reta $s$: $$3x+4y-11=0$$ $$4y=-3x+11$$ $$y=\dfrac{-3x+11}{4}$$ De acordo com a equação geral de retas perpendiculares, duas retas são perpendiculares quando os produtos de seus coeficientes angulares for igual a $-1$. Substituindo o valor dos coeficientes angulares das retas $r$ e $s$: $$m_{1} \cdot m_{2}=-1$$ $$\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{-3}{4}=-1$$ $$\dfrac{-12}{12}=-1$$ $$-1=-1$$ Conclui-se que as retas $r$ e $s$ são perpendiculares. Para descobrir o centro da circunferência, é preciso acha o ponto em que as duas retas se encontram. Para descobrir este ponto basta igualar o valor das equações das retas: $$\dfrac{4x+2}{3}=\dfrac{-3x+11}{4}$$ $$(4x+2)4=3(-3x+11)$$ $$16x+8=-9x+33$$ $$16x+9x=33-8$$ $$25x=25$$ $$x=1$$ Substituindo o valor de $x$ em uma das equações da reta: $$y=\dfrac{4x+2}{3}$$ $$y=\dfrac{4 \cdot 1 + 2}{3}$$ $$y=\dfrac{6}{3}$$ $$y=2$$ Logo, o ponto de intersecção das retas e o centro da circunferência é $(1, 2)$. A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$, onde um ponto genérico possui coordenadas $(x, y)$, o centro da circuferência $(a, b)$ e um raio $R$. No caso da questão, o diâmetro é $6$, o raio é metade, portanto $3$. Substituindo os valores encontrados na equação reduzida da circunferência, temos: $$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$$ $$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2}$$ $$(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-4y+4)=9$$ $$x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4-9=0$$ $$x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0$$ Resposta: Item B