[A] $16$ u.a.
[B] $20$ u.a.
[C] $22$ u.a.
[D] $18$ u.a.
Solução
Para descobrir os pontos de intersecção das parábolas, iguala-se as funções $f(x)$ e $g(x)$: $$f(x)=g(x)$$ $$x^{2}-6x+9=-x^{2}+6x-1$$ $$x^{2}+x^{2}-6x-6x+9+1=0$$ $$2x^{2}+-12x+10=0$$ Resolvendo a equação do $2^{\circ}$ grau, onde $a=2$, $b=-12$ e $c=10$. $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ $$x=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4\cdot2\cdot10}}{2\cdot2}$$ $$x=\dfrac{12\pm\sqrt{144-80}}{4}$$ $$x=\dfrac{12\pm\sqrt{64}}{4}$$ $$x=\dfrac{12\pm8}{4}$$ $$x_{1}=\dfrac{12+8}{4}=\dfrac{20}{4}=5$$ $$x_{2}=\dfrac{12-8}{4}=\dfrac{4}{4}=1$$ Substituindo os dois valores de $x$ encontrados em uma das funcões: $$f(x_{1})=x_{1}^{2}-6x_{1}+9$$ $$y_{1}=5^{2}-6\cdot5+9$$ $$y_{1}=25-30+9$$ $$y_{1}=4$$ $$f(x_{2})=x_{2}^{2}-6x_{2}+9$$ $$y_{2}=1^{2}-6\cdot1+9$$ $$y_{2}=1-6+9$$ $$y_{2}=4$$ Logo, sabe-se dois pontos do quadrilátero, $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$, ou seja, $(5, 4)$ e $(1, 4)$. Para descobrir a coordenada do vértice das parábolas, usa-se as expressões do $x$ do vértice $(X_{v})$ e $y$ do vértice $(Y_{v})$. Para a função $f(x)=x^{2}-6x+9$: $$X_{v}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-6)}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3$$ $$Y_{v}=\dfrac{-\Delta}{4a}=-\dfrac{(b^{2}-4ac)}{4a}=-\dfrac{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot9}{4 \cdot 1}=-\dfrac{(36-36)}{4}=-\dfrac{0}{4}=0$$ Portanto, a coordenada do vértice da função $f(x)$ é $(3, 0)$. Para a função $g(x)=-x^{2}+6x-1$: $$X_{v}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-6}{-2}=3$$ $$Y_{v}=\dfrac{-\Delta}{4a}=-\dfrac{(b^2-4ac)}{4a}=-\dfrac{6^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)}{4 \cdot (-1)}=-\dfrac{(36-4)}{-4}=-\dfrac{32}{-4}=-(-8)=8$$ Portanto, a coordenada do vértice da função $g(x)$ é $(3, 8)$. Assim, todos os pontos procurados são: $(5, 4)$, $(1, 4)$, $(3, 0)$ e $(3, 8)$. O quadrilátero é representado desta maneira:
