UECE 2019.2 - Fase 2 - Questão 19

Considere um cubo $Q$ inscrito na esfera $S$, isto é, os vértices de $Q$ pertecem à superfície esférica de $S$. Se o volume de $Q$ é igual a $1000$ m$^3$, então, a medida, em metros, do raio da esfera $S$ é

[A] $5 \sqrt{3}$.

[B] $3 \sqrt{5}$.

[C] $10 \sqrt{2}$.

[D] $5 \sqrt{2}$.

Solução

Como o cubo tem volume igual a $1000$ m$^{3}$, cada aresta tem $10$ m, pois $V=a^{3}$. A medida da diagonal de uma face do cubo é dada pela expressão $a\sqrt{2}$, assim, a medida da diagonal de qualquer uma das faces do cubo será $10\sqrt{2}$ m. Nota-se que fazendo um corte seguindo a diagonal da face inferior do cubo, pode-se descobrir o valor do raio. A figura pode ser descrita desta maneira:

Aplicando teorema de Pitágoras: $$(2R)^{2}=10^{2}+(10\sqrt{2})^{2}$$ $$4R^{2}=100+200$$ $$R^{2}=\dfrac{300}{4}$$ $$R^{2}=75$$ $$R=\sqrt{75}$$ $$R=5\sqrt{3}\, \textrm{m}$$ Resposta: Item A

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