[A] $6x + 8y - 25 = 0$.
[B] $4x - 3y = 0$.
[C] $6x - 8y + 7 = 0$.
[D] $4x + 3y - 12 = 0$.
Solução
A equação reduzida de uma circunferência é expressa por $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$, onde $(x, y)$ corresponde a um ponto qualquer da circunferência, $(a, b)$ o centro da circunferência e $R$, o raio da mesma. Assim, construindo uma equação para cada um dos pontos dados $(M, P, Q)$, temos:
Ponto $M$: $$(0-a)^{2}+(0-b)^{2}=R^{2}$$ $$a^{2}+b^{2}=r^{2}$$ Substituindo o valor de $r^{2}$ na equação do ponto $P$: $$(3-a)^{2}+(0-b)^{2}=R^{2}$$ $$3^{2}-6a+a^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}$$ $$a^{2}+b^{2}-6a+9=a^{2}+b^{2}$$ $$6a=9$$ $$a=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$$ Ponto $Q$: $$(0-a)^{2}+(4-b)^{2}=R^{2}$$ $$a^{2}+16-8b+b^{2}=a^{2}+b^{2}$$ $$16=8b$$ $$b=\dfrac{16}{8}=2$$ Portanto, o centro da circunferência $(K)$ é expresso na coordenada $(\dfrac{3}{2}, 2)$. Considerando uma reta com um ponto qualquer $C$ de coordenada $(x, y)$ e dois pontos conhecidos $A$ e $B$ de coordenadas $(x_{a}, y_{a})$ e $(x_{b}, y_{b})$, pode-se determinar sua equação geral, igualando o determinante de uma matriz $M$ construída com as coordenadas oferecidas a $0$: $$ M =\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ \end{vmatrix}= 0$$ Assim, substituindo os valores pelos pontos $P$, $Q$ e $K$, onde passa uma reta $s$, com a coordenada do ponto $K$ sendo desconhecida: $$ s = \begin{vmatrix} x & y & 1\\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1\\ \end{vmatrix}$$ $$ s = \begin{array}{|ccc|cc} x & y & 1 & x & y\\ 3 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 4 \\ \end{array}$$ Diagonal principal: $$x \cdot 0 \cdot 1= 0$$ $$y \cdot 1 \cdot 0= 0$$ $$1 \cdot 3 \cdot 4= 12$$ Diagonal secundária: $$1 \cdot 0 \cdot 0= 0$$ $$x \cdot 1 \cdot 4= 4x$$ $$y \cdot 3 \cdot 1= 3y$$ Desta forma: $$s: 12-(4x+3y)=0$$ $$s: 12-4x-3y=0$$ $$s: 12-4x=3y$$ $$s: 12-4x=3y$$ $$s: y=\dfrac{-4x+12}{3}$$ Portanto, a equação da reta é dada pela expressão $y=\dfrac{-4x+12}{3}$, onde $\dfrac{-4}{3}$ é o coeficiente angular e $\dfrac{12}{3}$, o linear. Como a reta procurada é perpendicular à reta $s$, o produto de seus coeficientes angulares é igual a $-1$. $$m_{1} \cdot m_{2}=-1$$ $$\dfrac{-4}{3} \cdot m_{2} =-1$$ $$ -4m_{2}=-3$$ $$m_{2}=\dfrac{-3}{-4}=\dfrac{3}{4}$$ Logo, o coeficiente angular da reta procurada é $\dfrac{3}{4}$. Aplicando a relação fundamental da reta no ponto $K(\dfrac{3}{2},2)$. $$y-b=m_{2}(x-a)$$ $$y-2=\dfrac{3}{4}(x-\dfrac{3}{2})$$ $$y-2=\dfrac{3x}{4} - \dfrac{9}{8}$$ $$y-2=\dfrac{6x-9}{8}$$ $$8y-16=6x-9$$ $$8y-6x=-9+16$$ $$8y-6x=7\,\,\,\,\cdot(-1)$$ $$-8y+6x=-7$$ $$-8y+6x+7=0$$ Resposta: Item C